水面涟漪的形成是流体力学与波动理论的完美结合，其数学本质可通过以下原理逐步解析：
一、物理基础：表面张力与重力平衡扰动产生回复力
波动方程推导
根据流体连续性方程与欧拉方程，简化后得二维波动方程：
[
\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 h
]
其中 (c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi} + \frac{2\pi \gamma}{\rho \lambda}})（(\gamma)为表面张力系数，(\rho)为密度）
对称性约束
点源扰动在无限大均匀介质中具有旋转对称性，方程解必为径向函数 (h(r,t))
柱坐标下的波动方程
[
\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial h}{\partial r} \right)
]
行波解形式
通解可表示为贝塞尔函数与时间因子的叠加：
[
h(r,t) = \int_0^\infty \left[ A(k) J_0(kr) + B(k) Y_0(kr) \right] e^{i\omega(k)t} dk
]
实际中因(Y_0(kr))在原点发散，故取(B(k)=0)
频率-波数色散关系
[
\omega(k) = \sqrt{ \left( gk + \frac{\gamma k^3}{\rho} \right) \tanh(kd) }
]
（(d)为水深，浅水时(\tanh(kd) \approx kd)）
相速度与群速度
粘性耗散修正
引入纳维-斯托克斯方程粘性项，波动方程修正为：
[
\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} + \nu \frac{\partial h}{\partial t} = c^2 \nabla^2 h
]
（(\nu)为运动粘度）
指数衰减解
( h(r,t) \propto e^{-\beta t} J_0(kr) \cos(\omega t) )，阻尼系数(\beta \propto \nu k^2)
贝塞尔函数的物理意义
零阶贝塞尔函数(J_0(kr))描述柱对称系统的驻波模式，其零点对应波节位置
惠更斯原理的微分体现
每个波前元点作为新波源，叠加结果严格满足波动方程，形成完美同心结构
标度不变性
小石子与大雨滴产生的波纹具有相似结构，源于方程的无特征长度尺度
涟漪的同心圆结构是旋转对称系统中波动方程的必然解，其振动衰减由流体本构关系决定。这种自然现象深刻揭示了微分方程（贝塞尔方程）如何通过对称性约束，将随机扰动转化为有序的数学之美，体现了物理世界内在的确定性规律。
